Funciones: Tipos de funciones

Función inyectiva

Una función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final x tiene como máximo un elemento del conjunto inicial y al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de x que tenga la misma imagen y. En términos matemáticos si f (x) = f (y) entonces x = y.

(Universo fórmulas, 2015).

Otro análisis de las funciones es por la forma en que se relacionan su dominio y recorrido. Esto es, cada vez que tomamos x1 x2 _Dom(f ) tales que, x1 x2; entonces tenemos que f(x1) f (x2). Esta definición es equivalente a decir que f(x) es uno a uno si cada vez que f(x1) f (x2) ∈ Rec(f ) entonces x1 x2 ∈ Dom(f ).

Criterio de la recta horizontal

Una función f(x) es uno a uno si y sólo si no es posible trazar una recta horizontal que corte a su gráfica en más de un punto.

(Castro, 2014)
Ejemplo:

f(x) = 2x+1

Función sobreyectiva

Una función f es sobreyectiva cuando el conjunto de recorrido es igual al conjunto de llegada. Es decir f es sobreyectiva si todos los elementos del conjunto de llegada están relacionados con por lo menos un elemento del dominio. Por lo tanto, el rango de f debe coincidir con el conjunto de llegada.

Una función puede ser sobreyectiva y no ser inyectiva. Para concluir que una función f: X → Y es sobreyectiva, se tendrá que conocer el conjunto de llegada Y.

(ESPOL, 2016).

Ejemplo

Encuentra una función que sea sobreyectiva pero que no sea inyectiva.

Definimos la función f: R → [0, ∞), tal que f(x) = x².

La gráfica de f(x) = x² es parábola. Al graficarla observamos que es posible trazar una infinidad de rectas horizontales que corten a la gráfica en dos puntos, por tanto f(x) no es una función inyectiva. Por otro lado, observamos que los valores de f(a) = a² cubren totalmente al intervalo [0, ∞) del eje y. Por tanto, la función no es inyectiva, pero sí es sobreyectiva.

Función biyectiva

Decimos que una función f: A → B, es biyectiva si al mismo tiempo es inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo

Encuentra una función que sea biyectiva.

y=2x+1

Función creciente

Una función f es creciente en un intervalo, si y sólo si para cualquier elección de x₁ y x₂ en, siempre que x₁ < x₂, tenemos f (x₁) ≤ f (x₂).

Función Estrictamente creciente

Una función f es estrictamente creciente en un intervalo, si y sólo si para cualquier elección de x₁ y x₂ en, siempre que x₁ < x₂, tenemos f (x₁) < f (x₂).

∀x1, x2 ∈ [(x1 < x2) → ( f (x1) ≤ f (x2))]

(ESPOL, 2016)

Ejemplo

Los estudiantes de la Universidad Nacional de Loja se fueron de excursión en la que a los 3m de recorrido hay una altura de 4m y permanece constante durante 3m de pronto les toca una cuesta de 4m avanzando 3m permaneciendo constate en 3m, y por ultimo para llegar a la meta recorre 4m mas encontrándose una cuesta de 4m.

Función extrictamente creciente

∀x1, x2 ∈ [(x1 < x2) → ( f (x1) < f (x2))]

Ejemplo:

f(x)=x+3

Función decreciente

Una función f es decreciente en un intervalo, si y sólo si para cualquier elección de x₁ y x₂ en, siempre que x₁ < x₂, tenemos f (x₁) ≥ f (x₂).

Función estrictamente decreciente

Una función f es estrictamente decreciente en un intervalo, si y sólo si para cualquier elección de x₁ y x₂ en, siempre que x₁ < x₂, tenemos f (x₁) > f (x₂).

∀x1, x2 ∈ [(x1 < x2) → ( f (x1) ≥ f (x2))]
Ejemplo

En el primer año un DVD cuesta $20 cada año baja $2 pero al tercer y cuarto año se mantiene en su valor del segundo año pero al quito año sigue bajando $2.

Función extrictamente decreciente

∀x1, x2 ∈ [(x1 < x2) → ( f (x1) > f (x2))]

Ejemplo

Juana compra una mochila en $15 pero mensualmente baja su precio $5. ¿Cuánto valdrá dentro de cuatro años?

Funciones Exponenciales y Logarítmicas

Función exponencial de base a

Si a > 0 y diferente de 1, entonces la función exponencial de base a se define como f(x) = ax, donde x es cualquier número real.

Ejemplo:

Grafica las funciones f(x) = 2x y g(x) = 3x en un mismo plano. Tabulamos para distintos valores de x y graficamos.

La gráfica hace evidente que a medida que x aumenta, los valores de 2x y 3x también lo hacen. Conforme x disminuye, los valores de las funciones se aproximan cada vez más a 0.

También apreciamos que la función 3x crece más rápidamente que 2x , esto se refleja en que la gráfica de 3x se pega más al eje y que la gráfica de 2x.

(Castro, Función Exponencial, 2014)

Características de la función exponencial a^x

El dominio de la función f(x) = a x es el intervalo (-∞, ∞).

f(x) > 0 para todo x, es decir, el rango de la función es el conjunto (0, ∞).

No cruza al eje x, corta al eje y en el punto (0, 1) y pasa por el punto (1, a).

Si a > 1, la función siempre es creciente; si 0 < a < 1, la función es siempre decreciente.

La función crece más rápido si a es cada vez mayor y decrece más rápido conforme a es menor.

Ejemplo:
Representa la función f(x) = 4x

Es una función exponencial de base a = 4.

El dominio es los reales. ℝ.

El recorrido es (0, +∞)

Es una función creciente.

La función es continua en los reales ℝ

Función logaritmo como inversa de la exponencial

Toda función exponencial de la forma f(x) = a x con a > 0 y a ≠ 1 es una relación biyectiva de R → (0, + ∞). Es fácil convencernos de eso mediante el criterio de la recta horizontal, visto anteriormente. De tal manera que la inversa de una función exponencial es también una función.

Función logaritmo Una función logarítmica es la inversa de una función exponencial. Sea a > 0 y a ≠ 1, la función logaritmo con base a, que denotamos por loga se define como

log_a x = y ⇔ a y = x.

Características de la función logarítmica lo g a x

El dominio de la función f(x) = lo g a x es el intervalo (0, ∞).

El recorrido de la función es Rec(f ) = (- ∞, ∞).

Pasa por el punto (a, 1). Cruza el eje x en el punto (1, 0); no corta al eje y.

Siempre es creciente si a > 1; siempre es decreciente cuando 0 < a < 1.

La función crece más lentamente si a aumenta y decrece más lento conforme a disminuye.

(Castro, 2014)

Características de la función logarítmica logax

El dominio de la función f(x) = lo g a (x) es el intervalo Dom(f ) = (0, ∞).

El recorrido de la función es Rec(f ) = ( -∞, ∞).

Cruza el eje x en el punto (1, 0); no corta al eje y.

Siempre es creciente si a > 1; siempre es decreciente cuando 0 < a < 1.

La función crece mas lentamente si a aumenta y decrece más lento conforme a disminuye.

(Castro, 2014)

Ejemplo:

La siguiente figura muestra las gráficas de funciones del tipo f(x) = lo g a x para diferentes valores de a. Las características de estas funciones se resumen en el recuadro. Grafica la función f(x) = lo g 2 x.

De acuerdo con la definición, la ecuación y = lo g 2 x es equivalente a x = 2 y . Tabulamos valores para y = 2 x y luego intercambiamos x con y.

(Castro, 2014, pág. 68)

Función periódica

Algunas funciones tienen la característica de repetir los valores de su rango, así como su comportamiento gráfico, cada cierto intervalo de su dominio.

Esto constituye la periodicidad de la función.

Una función f (x) que cumple la propiedad:

se denomina periódica con período T.

(Mateáticas, 2010)

Una función real f es periódica cuando existe un número real t ≠ 0 tal que para todo

x∈ Dom( f ) se tiene:

a) x + t ∈ Dom( f )

b) f (x + t) = f (x)
El menor número real positivo t, cuando existe, se denomina el período de f, y en este caso se dice que f es una función periódica con período t.
Por ejemplo, la función f : IR → IR definida por f (x) = x −[x] (= x menos la parte entera de x) es una función periódica de período 1, cuya gráfica es: