Funciones polinomiales y racionales

Función polinomial

   Una función polinomial es una función de la forma f (x) = a_n xⁿ + _an-1 x^n-1+...a1x+a₀ donde a_n, a_n-1, ..., a1, a₀ son números reales, y n ∈Z⁺. El dominio de esta función lo constituyen todos los números reales.

   El grado de una función polinomial es el mayor exponente de la variable presente en el polinomio, en este caso el exponente n, si a_n ≠ 0.

Identificación de funciones polinomiales

   Solución: 

   a) f es una función polinomial de grado tres.

   b) g no es una función polinomial. La variable (x-1) está elevada a la potencia 1/2, que es un número fraccionario.

   c) h es una función polinomial de grado cero.

  d) m no es una función polinomial, ya que está dada por el cociente entre dos polinomios.

Función potencia

   Una función potencia de grado n es de la forma:

Grafica de una función potencia.

   La gráfica de una función potencia de grado 1, f (x) = ax, es una recta con pendiente a que contiene al origen de coordenadas. El rango de esta función incluye todos los reales.

   La gráfica de una función potencia de grado 2, f (x) = ax², es una parábola que contiene al origen de coordenadas y que es cóncava hacia arriba si a>0 o cóncava hacia abajo si a<0.

   La gráfica de una función potencia de grado n, f (x) = axⁿ, siendo n un número par y mayor que uno, tiene un comportamiento similar al de la función cuadrática.

   A medida que n crece, la función potencia sufre un alargamiento vertical cuando x| < 1 y una compresión vertical cuando |x| > 1. El rango de estas funciones incluye el cero y todos los reales positivos.

   La gráfica de una función potencia de grado n, f (x) = axⁿ, siendo n un número impar y mayor que uno, tiene un comportamiento similar al de la función cúbica.

Gráfica de la función potencial I

(http://es.slideshare.net/jcremiro/funciones-elementales-31226200)

Operaciones con Polinomios

Adición y sustracción de polinomios

  Para sumar (adicionar) dos o más polinomios hay que asociar a los términos de éstos en términos semejantes y se procede a sumar sus coeficientes.

En el caso de monomios:

    4x²+7x² = (4+7)x²=11x²

En el caso de polinomios:

   (5x³ + 3x² − 3x+ 4) + (−4x³ + 2x − 6) =

   (5x³ − 4x³) + (3x²) + (-3x + 2x) + (4−6) = x³ +3 x² − x− 2

   Para restar (sustraer) dos polinomios, se aplica el algoritmo de la resta, el cual indica que se convierte en la suma del minuendo con el opuesto del sustraendo y se procede como en el caso de adición.

En el caso de monomios:

   − 4 x² − (−7 x²)= 4 x²+7x²= (−4+7) x²= 3x²

En el caso de polinomios:

   (5 + 3x²− 3x + 4) − (−4 x³− 7x² + 2x²− 6) =                   

   (5 x³+ 3x²− 3x + 4) + (4 x³+ 7x² − 2x + 6)

   (5 x³+ 4 x³)+ (3 x²+7x²)+(-3x − 2x)+(4+6)=9 x³+10x²− 5x + 10

Multiplicación de polinomios.

   Para multiplicar dos polinomios, multiplicamos el primer polinomio por cada uno de los monomios del segundo y después sumamos los polinomios resultantes:

   Escribimos los dos polinomios uno debajo del otro.

  Debajo, y en filas diferentes, escribimos los polinomios resultantes de multiplicar el primer polinomio por cada uno de los monomios de que consta el segundo polinomio.

   Sumamos los polinomios obtenidos.

  El resultado es un polinomio de grado igual a la suma de los grados de los polinomios iniciales.

Ejemplo:

  Procedimiento del ejemplo:

Multiplica los polinomios P (x) = 5 x³ + 3 x² − 3 x + 4 y

  Q(x) = −4 x³ + 2 x − 6

P(x) .Q(x) = −20x⁶ − 12x⁵ + 22x⁴ − 40x³ − 24x² + 26x – 24

División de polinomios

Para dividir dos polinomios.

   1. Escribimos los dos polinomios ordenados según las potencias decrecientes de x. Si el polinomio dividendo es incompleto, dejamos espacios en blanco correspondientes a los términos que faltan.

   2. Dividimos el primer monomio del dividendo (en este caso 3x⁵) entre el primer monomio del divisor. Multiplicamos el cociente obtenido por el divisor y escribimos el opuesto del resultado.

  3. Restamos el producto obtenido del dividendo. Ello equivale a sumar el opuesto.

  4. Se baja el siguiente término del dividendo, en nuestro caso no hay, y se repite el mismo proceso.

  5. El proceso continúa hasta que se obtiene un resto de grado menor que el grado del divisor.

   En el ejemplo, el grado del divisor es 3 y hemos obtenido un resto de grado 2.

   Divide el polinomio 3x⁵ + 2x³ − x² − 4 entre el polinomio x³ + 2x² + 1.

(Ministerio de Educación, 2011)

Ejemplos de resolución de funciones polinomial

Ejemplo de función polinómica de segundo grado

 Gráfica

Función racional

   Sean p(x) y q(x) dos polinomios. Se dice que la función

   con dominio

   es una función racional.

   Es decir, una función racional es aquella que puede expresarse como la división de dos polinomios.

   De acuerdo a la representación de una división entre polinomios, la función racional también puede expresarse como:

Raíces de una ecuación polinómica

   Los ceros reales de una función polinomial f son las soluciones reales, si las hay, de la ecuación polinómica f (x) = 0 y gráficamente representan las intersecciones de f con el eje x.

   Ya hemos visto la importancia de localizar los ceros para construir la gráfica de una función polinomial. Sin embargo, en la mayoría de los casos, los ceros de una función polinomial son difíciles de encontrar, ya que no hay fórmulas sencillas disponibles como en el caso de la ecuación cuadrática.

   Para encontrar los ceros de una función polinomial, se dispone de otros teoremas: del número de ceros, regla de los signos de Descartes, de los ceros racionales y el teorema fundamental del algebra.

Teorema del número de ceros

   Una función polinomial no puede tener más ceros que el valor de su grado.

   La demostración está basada en el teoreama 3.5. Si r es un cero de una función polinomial f, entonces f (r) = 0 y (x - r) es un factor de f (x), por lo tanto, cada cero corresponde a un factor de grado 1. El resultado es consecuencia de que f no puede tener más factores de primer grado que el valor de su grado.

Regla de los signos de Descartes

   Sea f una función polinomial:

   1) El número de ceros positivos f es igual al número de variaciones en el signo de los coeficientes de f (x), o es igual que ese número menos un entero par.

   2) El número de ceros negativos de f es igual al número de variaciones en el signo de los coeficientes de f (-x), o es igual que ese número menos un entero par.

Teorema de los ceros racionales

   Sea f una función polinomial de grado 1 o superior, de la forma:

   f (x) = a_n xⁿ + a_{n − 1} x^{n − 1} + ... + a1 x + a₀, a_n ≠ 0, a0 ≠ 0

   donde cada coeficiente es un entero. Si

   irreducible es un cero racional de f, entonces p debe ser un factor de a₀ y q un factor de a_n.

Ejemplo utilizando el método de los ceros de una función polinomial

   Determinar las raíces de la función polinomial f (x) = x⁴ - x³ -6x² + 4x + 8, ∀ x  ∈R.

   Solución:

   Con el teorema del número de ceros, como f es de grado 4, tiene cuando más, 4 raíces.

   Mediante la regla de los signos de Descartes:

f (x) = x⁴ - x³ -6x² + 4x + 8, las dos variaciones de signo indican que pueden haber dos raíces positivas o ninguna.

f (−x) = (−x)⁴ − (−x)³ − 6(−x)² + 4(−x) + 8 = x⁴ + x³ − 6x² − 4x + 8, las dos variaciones de signo indican que pueden haber dos raíces negativas o ninguna.

  Aplicando el teorema de los ceros racionales restringimos el conjunto de valores posibles: 

 

(son las posibles raíces racionales).

   Probando para los primeros valores con el teorema del residuo:

f (1) = 1 − 1 − 6 + 4 + 8 = 6 > 0

f (2) = 16 − 8 − 24 + 8 + 8 = 0

   Con el último valor y aplicando la división sintética:

   Con lo cual, la función puede ser expresada así:

   Factorizando:
f (x) = (x -2)(x² + 4x +3)

f (x) = (x -2)(x + 1)(x +3) 

f (x) = (x − 2) [(x³ + x2) + (−4x − 4)]

f (x) = (x − 2) [x²(x + 1) − 4(x + 1)]

f (x) = (x − 2) (x² − 4)(x + 1)

f (x) = (x − 2)²(x + 2)(x + 1), ∀x ∈

   Las raíces son: 2, -1, -2, cada uno de multiciplicidad 1.
(ESPOL, 2015) 

   La gráfica de f sería: