Funciones cuadráticas

   Sean a, b y c números reales con a ≠ 0, la función f de en cuya regla de correspondencia es f (x) = ax2 + bx + c, recibe el nombre de función cuadrática.
   Su gráfica corresponde geométricamente a una parábola cóncava hacia arriba o hacia abajo.
(ESPOL, 2015)

Dominio y Rango de las funciones cuadráticas 
   Como con cualquier función, el dominio de función cuadrática f(x) es el conjunto de los valores de x para los cuales la función está definida, y el rango es el conjunto de todos los valores de salida (valores de f). 
   Las funciones cuadráticas generalmente tienen la recta real de enteros como su dominio: cualquier x es una entrada legítima. El rango está restringido a esos puntos mayores que o iguales a la coordenada en y del vértice (o menores que o iguales a, dependiendo si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo).(Hotmath.com, 2016) 
Forma Canónica 
   Nos proponemos obtener mediante el método de completar cuadrados, una expresión equivalente a f (x) = ax2 + bx + c, la misma que será de gran utilidad para el estudio de ciertas propiedades de esta función.

Casos especiales 

   Utilizando la forma canónica

Ejemplo:

   Obtenga la forma canónica de

   Solución:

   Observamos que 

   Por lo tanto;

Forma factorizada 

   Dada la regla de correspondencia de f, si  ≥ 0, siempre es posible factorizarla y llevarla a la forma f (x) = a(x − x1)(x − x2), donde x1 y x2 son las raíces de la ecuación cuadrática f (x) =0.
(ESPOL, 2015)

Ejemplo:

   Obtenga la forma factorizada de

   Solución:

   La expresión equivalente factorizada es:

   Las raíces de la expresión cuadrática

Gráfica de la Función cuadrática 

   Para graficar la función f (x) = ax2 + bx + c en el plano cartesiano, se debe tener en cuenta que:
   1. Su gráfica es una parábola.
   2. Tiene simetría con respecto a la recta x = - b/2a.
  3. El signo de a indica la concavidad de la curva. Si a > 0 la parábola es cóncava hacia arriba; y, si a < 0, la parábola es cóncava hacia abajo. 
  4. El signo de △ está relacionado con la cantidad de intersecciones con el eje X. Si △ > 0 la gráfica de f tiene dos intersecciones con el eje X. Si, △ = 0 la gráfica de f interseca al eje X en un solo punto. Por último, si △ < 0 la gráfica de f no interseca al eje X.  
(ESPOL, 2015)

   En base a lo anotado, se pueden dar los siguientes casos:

Ejemplo: Gráfica de la función cuadrática

   Grafique la función

   Solución:

   Gráfica de f:(a > 0) ⇒ es una curva cóncava hacia arriba.

   Eje de simetría

   Vértice 

   Intersecciones con el eje X:(-1,0),(6,0)

   Intersecciones con el eje Y:(0,-6)